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Mathématiques Série S (Septembre 2008) Corrigés

Extraits de la fiche

[...] La suite pn étant croissante et majorée, elle est donc convergente. Limite de pn : lim = 0 Donc lim pn = 1 1 > 0,9 < 0,1 ln < ln 0,1 car la fonction ln est croissante sur ; + n ln 0,9 < ln 0,1 car ln an = n ln a ln 0,1 car ln 0,9 < 0 ln 0,9 n > 21,85. La plus petite valeur de l'entier n pour laquelle pn > 0,9 est 22. pn > 0,9 car 1 < 0,9 < 1. [...]


[...] n n e t t + 1dt > 0 pour tout t + t 1 Donc + t)2 1 + t 1+t 1+t Donc pour tout t on a t + 1 t + 1. car 1 + t > 0 car x est croissante sur ; + Pour tout t on a t + 1 t + 1 et > 0 Donc t + 1 + Les fonctions x t + 1 et x + sont continues sur IR. Par passage à l'intégrale : n 1 t t + 1dt n 1 ( t + 1 ) t dt Donc Jn In. [...]


[...] zn = kn + i sin 3 Donc Re(zn) > 0 et Im(zn) = 0 kn cos > 0 et knsin = 0 cos > 0 et sin = 0 n? n? = 0 + 2K? ou = ? + 2K? K Z n = 6K ou n = 3 + 6K K Z Pour n = 6K cos = cos (2K?) = 1 > 0 Pour n = 3 + 6K cos = cos (? + 2K?) = cos ? = 1 < 0 Les valeurs de n pour lesquelles le point An appartient à la demi droite ; u ) sont n = 6K avec K Z et, dans ce cas, l'abscisse de An en fonction de k et de n vaut : Z ? kn cos = k6K avec K Z Z. Partie B 2008 = 8 251 = 23 251 La décomposition en facteurs premiers de 2008 est 23 251. Si k6 est un multiple de 2008, alors il existe p un entier naturel tel que : k6 = 2008 p k6 = 23 251 p D'où 2 et 251 sont des diviseurs premiers de k6, donc des diviseurs premiers de k. [...]


[...] JI Donc JA + JD = + (en fait le barycentre G est le point Comme 0 .CA = le point J appartient à l'ensemble. Il s'agit donc de la médiatrice de [AI]. Réponse On a Consulter gratuitement les corrections du baccalauréat et du Brevet sur http://www.2amath.fr/examen-sujet.php Métropole Septembre 2008 Série S Corrigés Page 6 sur 11 Exercice 4 : points) n + n + Commun à tous les candidats Pour tout entier naturel n non nul : Jn+1 Jn = = e t t + 1 dt n 1 e t t + 1 dt t t + 1 dt t t + 1 dt + 1 n n n e t t + 1 dt (relation de Chasles) Or pour tout t ; + > 0 et t + 1 > 0 donc t + 1 > 0 donc Donc Jn+1 Jn > 0. [...]


[...] n Consulter gratuitement les corrections du baccalauréat et du Brevet sur http://www.2amath.fr/examen-sujet.php Métropole Septembre 2008 Série S Corrigés Page 7 sur 11 Exercice 5 : points) Partie A Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Soit zI' l'affixe du point I'. z zI' = I zI 1 zI' = zI' = 2+i 4 + 2i + 2i + 1 zI' = zI' = + i On a zI' = zI' + = + zI' = 1 On a : Donc I' appartient à z' = z' zO = OM' z 5 = z zB = MB z 1 = z zA = MA Pour tout point M distinct de A et on a : z' = = MB . [...]


[...] Variation de la suite pn : pn+1 pn = 1 1 + pn+1 pn = pn+1 pn = pn+1 pn = 0,1 Comme 0,1 > 0 et > alors pn+1 pn > 0. La suite pn est donc croissante. De plus on a pn = 1 donc pn = 1 < 1 car > 0. Donc la suite pn est majorée. [...]


[...] Réponse Soit M un point du plan tel que (2MA + MB + MD ).(MA MC) = 0 On a MA MC = MA + CM = CA Soit G le des points barycentre pondérés et alors : 2MA + MB + MD = 4 MG MA + MC = 2 MI car I est le milieu de MA + MC = AB est : (2MA + MB + MD ).(MA MC) = 0 4 MG.CA = 0 MG.CA = 0 L'ensemble des points M du plan tels que (2MA + MB + MD ).(MA MC) = 0 est la droite passant par G et perpendiculaire à (CA). Parmi les réponses proposées c'est donc soit la médiatrice de soit la médiatrice de [AI]. Pour éliminer la mauvaise réponse, on va vérifier si le milieu I de ou le milieu J de vérifie la relation (2MA + MB + MD ).(MA MC) = 0 On a 2 IA + + ID = CA + 0 = CA IB Comme CA.CA le point I n'appartient pas à l'ensemble. [...]


[...] a Les solutions de (E') sont donc les fonctions h définies et dérivables sur l'intervalle ; + par = Ce2x 4 avec C réel. D'après la question 1)b., les solutions de l'équation sont les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle ; + par = xh(x) = Cxe2x 4x avec C réel. Soit une fonction f solution de l'équation différentielle f(ln = 0 C ln 2 e2ln 2 4ln 2 = 0 C ln 2 4 4ln 2 = 0 e2ln 2 = eln 4 = 4 C=1 Il existe bien une fonction f solution de l'équation différentielle dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A (ln 0). [...]


[...] x Soit une fonction h définie et dérivable sur l'intervalle ; + solution de (E'). Donc h'(x) = 2h(x) + 8 Soit la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ; + par = xh(x). Pour tout x de ; + on a : f '(x) = xh'(x) + h(x). Comme h'(x) = 2h(x) + 8 Alors f '(x) = 2xh(x) + 8x + + 8x + f '(x) = 2x x x 2 (2x + + 8x f '(x) = x x f '(x) (2x + = 8x2 Donc la fonction f est solution de Donc si h est solution de (E') alors la fonction f définie par = xh(x) est solution de (E') est une équation différentielle du type y' = ay + b dont les solutions sont les fonctions b définies et dérivables sur l'intervalle ; + par = Ceax , avec a et b réels. [...]


[...] Consulter gratuitement les corrections du baccalauréat et du Brevet sur http://www.2amath.fr/examen-sujet.php Métropole Septembre 2008 Série S Corrigés Page 3 sur 11 Exercice 2 points) Commun à tous les candidats Soit une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle ; + solution de Donc : x f '(x) (2x + = 8x2 x f '(x) (2x + Soit (car x x2 x f '(x) 2xf(x) x2 2f(x) x f '(x) 2 x x Soit la fonction g définie sur l'intervalle ; + par = . x x f '(x) La fonction g est dérivable sur ; + et pour tout x de ; + : g'(x) = . x2 Donc la fonction g vérifie : g'(x) = 2g(x) + 8. Donc si f est solution de alors la fonction g définie sur l'intervalle ; + par = est solution de l'équation différentielle (E') : y' = 2y + 8. [...]

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