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calcul_matriciel_chapitre_3

Extraits du cours

[...] Exemple 1 Considérons la matrice : A = Par exemple, le cofacteur de l'élément a32 est : c32 = 2 3+2 det µ 2 = det µ 2 . Développement du déterminant Théorème 2 Si on a : A = (aij ) Mn alors : n n X X j { on a : det(A) = aij .cij ou encore : det(A) = aij .cij . i=1 j=1 Exemple 3 Calculons le déterminant : = 3 3 Méthode 1 : Développons par rapport la première colonne : 3. + 3. = 1. + 3. + + 3. + = 6. = 1. [...]


[...] a0 a00 c c c c b b a a0 a00 soit encore : b b0 b00 = a (b0 c00 b00 c0 ) b (a0 c00 a00 c0 ) + c (a0 b00 a00 b0 c c0 c00 il ne reste plus ensuite qu'à développer puis regrouper les termes pour obtenir le résultat annoncé. a00 b00 c00 a a0 b b0 c c0 Remarque 8 Il faut remarquer µ : det(A + µ que det(A) + det(B). Par exemple, prenons : A = et B = . µ Nous avons : det(A) = det(B) = A + B = et det(A + = 4 det(A) + det(B). III) Cas des matrices carrées inversibles Théorème 4 Soit A Mn et désignons par C la matrice des cofacteurs de la matrice A. [...]


[...] a11 a a1n 0 a a2n Calculons donc le déterminant de la matrice triangulaire supérieure : A = . ann Développons det(A) par rapport à la première colonne, nous obtenons : a a2n det(A) = a . développons ensuite le nouveau déterminant d'ordre par ann a33 a a3n 0 a a4n rapport à sa première colonne. Nous obtenons : det(A) = a11 .a . ann De façon immédiate nous obtiendrons : det(A) = a11 .a ann . Conclusion : Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure est égal au produit des termes situés sur sa diagonale principale. [...]


[...] Supposons que la matrice A soit inversible. dans ce cas, nous avons : A.A?1 = In . De plus, d'après le théorème précédent, nous savons que : A.C t = C t .A = det(A).In . µ µ t t Puisque det(A) A. = C C .A = In , nous en déduisons donc d'après det(A) det(A) 1 l'unicité de la matrice inverse que : = Ct. det(A) Réciproquement, supposons que det(A) 0. Par conséquent on a : det(A.A?1 ) = det(A). [...]


[...] Corollaire 1 Si une colonne d'une matrice A Mn est une combinaison linéaire des autres colonnes de la matrice alors on a : det(A) = 0. Preuve. Supposons que : A = C Ck Cn ) et que : Ck = On a donc d'après la propriété précédente : det(A) = det(C C Ck Cn ) = det(C C n X ?j Cj . j=1 j6=k n X ?j Cj Cn ) j=1 j6=k soit : det(A) = det(C C n n n X X X ?j Cj + Cj ) Cn ) = det(C C (?j ?j) Cj Cn ) j=1 j6=k j=1 j6=k j=1 j6=k ce qui donne : det(A) = det(C C Cn ) = 0. [...]

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