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calcul_matriciel_chapitre_1

Extraits du cours

[...] La multiplication matricielle Dans ce paragraphe nous allons étudier la multiplication de deux matrices. Notons tout de suite que cette multiplication ne sera pas toujours possible et qu'une condition sur les tailles des matrices sera nécessaire. Dé?nition 23 Considérons deux matrices : M = (aij ) Mn,p et N = (bjk ) Mp,q . Le produit de la matrice M par la matrice N sera la matrice de Mn,q , noté M.N dé?nie par : M.N = (cik ) avec : cik p X = aij .b jk . [...]


[...] x1 x Notation 1 Nous noterons : X = 2 un tel vecteur. . xn Nous noterons dim(X) la dimension du vecteur donc ici, nous avons dim(X) = n. Chacun des nombres réels xi sera appelé composante du vecteur par exemple, x1 désignera la première composante du vecteur x2 la seconde composante . Remarque 1 Nous noterons souvent X = (xi ) le vecteur X. dim(X) = dim(Y ) Dé?nition 2 Deux vecteurs X et Y sont égaux si : , où xi et yi . [...]


[...] Ces propriétés dérivent immédiatement des propriétés de l'addition et de la multiplication des nombres réels. Remarque 4 Nous dirons que l'ensemble des vecteurs de dimension n muni de l'addition et du produit par un nombre réel possède une structure d'espace vectoriel. Corollaire 1 Nous avons les conséquences suivantes : on a : 0.X = 0 on a : .X = 2 Preuve. + .X = X on en déduit que : X + 0.X = et par suite + .X = 1.X + 0.X = X + 0.X on tire : 0.X = + .X = 0.X = 0 Puisque : on en déduit que : X + = 0 + .X = 1.X + = X + et d'après l'unicité de l'élément neutre pour l'addition vectorielle nous en déduisons que est l'élement neutre de X et par conséquent : .X = Puisque : Le produit scalaire Dé?nition 7 Le produit scalaire de deux vecteurs X = (xi ) et Y = (yi ) de dimension n est le nombre réel, noté X.Y et dé?ni par : n X X.Y = xi .yi . [...]


[...] Remarque 2 Puisque l'addition vectorielle est associative, nous noterons sans parenthèses la somme de trois vecteurs. Proposition 2 Unicité de l'élément neutre. L'élement neutre neutre d'un vecteur X de dimension n est unique. Preuve. Raisonnons par l'absurde. Supposons que l'addition vectorielle possède deux éléments neutres distincts 01 et ( 01 + 02 = 02 puisque 01 est élément neutre on a : . Par suite on a : 01 = ce qui contredit 01 + 02 = 01 puisque 02 est élément neutre notre hypothèse. Par conséquent, il y a unicité de l'élément neutre. [...]


[...] Le produit par le nombre réel ? de la matrice M est la matrice de taille que nous noterons ?.M ou plus simplement ?M dé?nie par : ?M = (?.aij µ µ Exemple 13 Si M = et ? = alors on a : ?M = . Proposition 9 La multiplication par un nombre réel possède les propriétés suivantes : µ Mn,p on a : (? + µ) .M = (?.M ) + (µ.M ) N Mn,p on a : ?.(M + N ) = (?.M ) + (?.N ) µ Mn,p on a : ?. [...]

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